【DP專輯】ACM動態規劃總結

轉載請注明出處，謝謝。   http://blog.csdn.net/cc_again?viewmode=list           Accagain  2014年5月15日
動態規劃一直是ACM競賽中的重點，同時又是難點，因為該算法時間效率高，代碼量少，多元性強，主要考察思維能力、建模抽象能力、靈活度。本人動態規劃博客地址：http://blog.csdn.net/cc_again/article/category/1261899
******************************************************************************************動態規劃（英語：Dynamic programming，DP）是一種在數學、計算機科學和經濟學中使用的，通過把原問題分解為相對簡單的子問題的方式求解複雜問題的方法。 動態規劃常常適用於有重疊子問題和最優子結構性質的問題，動態規劃方法所耗時間往往遠少於樸素解法。
動態規劃背後的基本思想非常簡單。大致上，若要解一個給定問題，我們需要解其不同部分（即子問題），再合並子問題的解以得出原問題的解。 通常許多子問題非常相似，為此動態規劃法試圖僅僅解決每個子問題一次，從而減少計算量： 一旦某個給定子問題的解已經算出，則將其記憶化存儲，以便下次需要同一個子問題解之時直接查表。 這種做法在重複子問題的數目關於輸入的規模呈指數增長時特別有用。
動態規劃問題滿足三大重要性質 最優子結構性質：如果問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的，我們就稱該問題具有最優子結構性質（即滿足最優化原理）。最優子結構性質為動態規劃算法解決問題提供了重要線索。
子問題重疊性質：子問題重疊性質是指在用遞歸算法自頂向下對問題進行求解時，每次產生的子問題並不總是新問題，有些子問題會被重複計算多次。動態規劃算法正是利用了這種子問題的重疊性質，對每一個子問題只計算一次，然後將其計算結果保存在一個表格中，當再次需要計算已經計算過的子問題時，只是在表格中簡單地查看一下結果，從而獲得較高的效率。
無後效性：將各階段按照一定的次序排列好之後，對於某個給定的階段狀態，它以前各階段的狀態無法直接影響它未來的決策，而只能通過當前的這個狀態。換句話說，每個狀態都是過去歷史的一個完整總結。這就是無後向性，又稱為無後效性。
******************************************************************************************** 動態規劃分類有很多劃分方法，網上有很多是按照狀態來分，分為一維、二維、區間、樹形等等。我覺得還是按功能即解決的問題的類型以及難易程度來分比較好，下面按照我自己的理解和歸納，把動態規劃的分類如下：一、簡單基礎dp這類dp主要是一些狀態比較容易表示，轉移方程比較好想，問題比較基本常見的。主要包括遞推、背包、LIS（最長遞增序列），LCS（最長公共子序列），下面針對這幾種類型，推薦一下比較好的學習資料和題目。1、遞推：遞推一般形式比較單一，從前往後，分類枚舉就行。簡單:
hdu 2084 數塔 簡單從上往下遞推
hdu 2018 母牛的故事 簡單遞推計數
hdu 2044 一只小蜜蜂 簡單遞推計數（Fibonacci）
hdu 2041 超級樓梯 Fibonacci
hdu 2050 折線分割平面 找遞推公式
推薦：
CF 429B B.Working out 四個角遞推
zoj 3747 Attack on Titans 帶限制條件的計數遞推dp
uva 10328 Coin Toss 同上題
hdu 4747 Mex 
hdu 4489 The King's Ups and Downs
hdu 4054 Number String
2、背包經典的背包九講：http://love-oriented.com/pack/
推薦博客：http://blog.csdn.net/woshi250hua/article/details/7636866
主要有0-1背包、完全背包、分組背包、多重背包。簡單：
hdu 2955 Robberies 01背包
hdu 1864 最大報銷額 01背包
hdu 2602 Bone Collector 01背包
hdu 2844 Coins 多重背包
hdu 2159 FATE 完全背包
推薦：
woj 1537 A Stone-I  轉化成背包
woj 1538 B Stone-II 轉化成背包
poj 1170 Shopping Offers 狀壓+背包
zoj 3769 Diablo III 帶限制條件的背包
zoj 3638 Fruit Ninja 背包的轉化成組合數學
hdu 3092 Least common multiple 轉化成完全背包問題
poj 1015 Jury Compromise 擴大區間+輸出路徑
poj 1112 Team Them UP 圖論+背包
3、LIS最長遞增子序列，樸素的是o(n^2)算法，二分下可以寫成o(nlgn)：維護一個當前最優的遞增序列——找到恰好大於它更新簡單：
hdu 1003 Max Sum
hdu 1087 Super Jumping!
推薦：
uva 10635 Prince and Princess LCS轉化成LIS
hdu 4352 XHXJ's LIS　數位dp+LIS思想
srm div2 1000  狀態壓縮+LIS
poj 1239 Increasing Sequence 兩次dp
4、LCS最長公共子序列，通常o(n^2)的算法
hdu 1503 Advanced Fruits
hdu 1159 Common Subsequence
uva 111 History Grading 要先排個序
poj 1080 Human Gene Functions
二、區間dp推薦博客：http://blog.csdn.net/woshi250hua/article/details/7969225
區間dp,一般是枚舉區間，把區間分成左右兩部分，然後求出左右區間再合並。poj 1141 Brackets Sequence 括號匹配並輸出方案
hdu 4745 Two Rabbits 轉化成求回文串 
zoj 3541 The Last Puzzle  貪心+區間dp
poj 2955 Brackets
hdu 4283 You Are the One  常見寫法
hdu 2476 String Printer 
zoj 3537 Cake
CF 149D Coloring Brackets
zoj 3469 Food Delivery
三、樹形dp比較好的博客：http://blog.csdn.net/woshi250hua/article/details/7644959
一篇論文：http://doc.baidu.com/view/f3b19d0b79563c1ec5da710e.html
樹形dp是建立在樹這種數據結構上的dp,一般狀態比較好想，通過dfs維護從根到葉子或從葉子到根的狀態轉移。hdu 4123 Bob's Race 二分+樹形dp+單調隊列
hdu 4514  求樹的直徑
poj 1655 Balancing Act 
hdu 4714 Tree2Cycle 思維
hdu 4616 Game
hdu 4126 Genghis Kehan the Conqueror MST+樹形dp 比較經典
hdu 4756 Install Air Conditioning MST+樹形dp 同上
hdu 3660 Alice and Bob's Trip 有點像對抗搜索
CF 337D Book of Evil  樹直徑的思想 思維
hdu 2196 Computer 搜兩遍
四、數位dp推薦一篇論文：http://wenku.baidu.com/view/d2414ffe04a1b0717fd5dda8.html
數位dp,主要用來解決統計滿足某類特殊關系或有某些特點的區間內的數的個數，它是按位來進行計數統計的，可以保存子狀態，速度較快。數位dp做多了後，套路基本上都差不多，關鍵把要保存的狀態給抽象出來，保存下來。hdu 2089 不要62 簡單數位dp
hdu 3709 Balanced Number 比較簡單
CF 401D Roman and Numbers 狀壓+數位dp
hdu 4398 X mod f(x) 把模數加進狀態裏面
hdu 4734 F(x)  簡單數位dp
hdu 3693 Math teacher's homework 思維變換的數位dp
hdu 4352 XHXJ's LIS　數位dp+LIS思想
CF 55D Beautiful Numbers  比較巧妙的數位dp
hdu 3565 Bi-peak Numbers 比較難想
CF 258B Little Elephant and Elections 數位dp+組合數學+逆元
五、概率(期望) dp推薦博客：http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/10/02/2710606.html
推薦博客：http://blog.csdn.net/woshi250hua/article/details/7912049
推薦論文：
《走進概率的世界》
《淺析競賽中一類數學期望問題的解決方法》
《有關概率和期望問題的研究》
一般來說概率正著推，期望逆著推。有環的一般要用到高斯消元解方程。期望可以分解成多個子期望的加權和，權為子期望發生的概率，即 E(aA+bB+) = aE(A) + bE(B) + ural 1776 Anniversiry Firework 比較基礎
hdu 4418 Time travel  比較經典BFS+概率dp+高斯消元
hdu 4586 Play the Dice 推公式比較水
hdu 4487 Maximum Random Walk 
jobdu 1546 迷宮問題 高斯消元+概率dp+BFS預處理
hdu 3853 LOOPS 簡單概率dp
hdu 4405 Aeroplane chess 簡單概率dp,比較直接
hdu 4089 Activation 比較經典
poj 2096 Collecting Bugs 題目比較難讀懂
zoj 3640 Help me Escape 從後往前，比較簡單
hdu 4034 Maze 經典好題，借助樹的概率dp
hdu 4336 Card Collector 狀態壓縮+概率dp
hdu 4326 Game  這個題狀態有點難抽象
六、狀態壓縮dp這類問題有TSP、插頭dp等。
推薦論文：http://wenku.baidu.com/view/ce445e4f767f5acfa1c7cd51.html
推薦博客：http://blog.csdn.net/sf____/article/details/15026397
推薦博客：http://www.notonlysuccess.com/index.php/plug_dp/
hdu 1693 Eat the Trees  插頭dp
hdu 4568 Hunter 最短路+TSP
hdu 4539  插頭dp
hdu 4529 狀壓dp
poj 1185 炮兵陣地
poj 2411 Mandriann's Dream 輪廓線dp
hdu 3811 Permutation
poj 1038
poj 2441
hdu 2167
hdu 4026
hdu 4281
七、數據結構優化的dp有時盡管狀態找好了，轉移方程的想好了，但時間複雜度比較大，需要用數據結構進行優化。常見的優化有二進制優化、單調隊列優化、斜率優化、四邊形不等式優化等。1、二進制優化主要是優化背包問題，背包九講裏面有介紹，比較簡單，這裏只附上幾道題目。
hdu 1059 Diving 
hdu 1171 Big Event in Hdu
poj 1048 Follow My Magic
2、單調隊列優化推薦論文：http://wenku.baidu.com/view/4d23b4d128ea81c758f578ae.html
推薦博客：http://www.cnblogs.com/neverforget/archive/2011/10/13/ll.html
hdu 3401 Trade  
poj 3245 Sequece Partitioning 二分+單調隊列優化
3、斜率優化推薦論文：用單調性優化動態規劃
推薦博客：http://www.cnblogs.com/ronaflx/archive/2011/02/05/1949278.html
hdu 3507 Print Article
poj 1260 Pearls
hdu 2829 Lawrence
hdu 2993 Max Average Problem
4、四邊形不等式優化推薦博客：http://www.cnblogs.com/ronaflx/archive/2011/03/30/1999764.html
推薦博客：http://www.cnblogs.com/zxndgv/archive/2011/08/02/2125242.html
hdu 2952 Counting Sheep
poj 1160 Post Office
hdu 3480 Division
hdu 3516 Tree Construction
hdu 2829 Lawrence